곱셈 테이블
10 이하의 곱셈 테이블을 구구단이라고 합니다. 보통의 사람은 초등학교 정도면 다 외울 수 있게 되지요. 사실 맹목적으로 구구단을 외우는 것은 수학에 있어서 좋지 않은 학습이 될 수 있습니다. 가장 기본이 되는 수의 원리보다 암기하는 방식에 익숙해지면 수에 대한 통찰력을 얻는 기회가 줄어들 수 있습니다.
이 포스트는 math-hack을 위해서 우선 수를 좀 가지고 놀아 보려고 합니다.
구구단 (10 이하 곱셈 테이블)
우리가 구구단이라고 말하지만 사실은 10이하의 곱셈 테이블일 뿐입니다. 구구단은 수의 세계에서 극히 일부분일 뿐 19단도 있고 99단 999단… 곱셈 테이블의 확장은 무한대입니다. 구구단은 많은 사람들이 외울 수 있고 19단도 외우는 사람들이 있겠지요(인도 수학) 그런데 999단을 외우는 사람은 많지 않을 겁니다. 그 단계는 외우는 것 보다 원리가 중요하겠지요.
다음의 곱셈의 답을 내봅시다.
7 x 8 =
정답은 56입니다. 그런데 암기니까 좀 다른 방식으로 답을 내보겠습니다.
7과 10의 거리에는 3이 있습니다. 8과 10은 2의 차이가 납니다. 이 차이를 곱하면 3 x 2 = 6 이고 이는 일의 자리에 들어갑니다.
7 x 8 = * 6 3 2
여기서 대각선으로 7과 2의 차이 5와 8과 3의 차이 5로 같습니다. 이 5를 십의 자리에 배치합니다.
7 x 8 = 56 (6 + 50) 3 2 7-2=5 8-3=5
그렇다면 다른 숫자들도 계산해봐야겠네요. 4 x 7은 다음과 같습니다. 6과 3을 곱하면 자리수가 올라가는데 십의 자리에 같이 더하면 됩니다.
4 x 7 = 18 + 10 = 28 6 3 4-3=1 7-6=1
2 x 3을 이런 식으로 계산하는 것은 의미가 없지만 구구단이라는 수체계에서 이 공식이 통한다는 것은 확인됩니다.
2 x 3 = 56 + (-5 x 10) = 6 8 7 2-7=-5 3-8=-5
이걸 몇번 해보면 구구단을 까먹더라도 암산으로도 충분히 할 수 있습니다. 예를 들어 7 x 6 이면 3 x 4 = 12 놓고 7-4 = 3 즉 30 + 12 = 42가 됩니다. 구구단을 까먹는 분은 좀체 없겠지만 그 안에 원리가 숨어있다는 것만 알아도 됩니다. 구구단은 기계적인 공식이 아니라 원리가 있는 시스템이라는 것을 아는게 중요합니다.
99단(100 이하 곱셈 테이블) 암산
구구단을 했으니 99단 한번 가야겠지요? 원리는 똑같습니다. 암산의 자릿수만 조절하면 됩니다. 먼저 간단한 숫자부터 알아보겠습니다.
99 x 99
99 x 99 하면 9 x 9 하고는 차원이 다르게 느껴지는데요. 구구단처럼만 해보면 다음과 같습니다. 10자리를 두개 곱하는 거니까 100을 곱해야 하구요. 100은 레퍼런스 넘버입니다. 100에서 뺀거니까 레퍼런스로 여기서는 R100이라고 표시하겠습니다.
R100 99 x 99 1 1 99-1=98 => 9800 + 1 = 9801
R100 93 x 92 7 8 92-7=85 93-8=85 => 8500 + 56 = 8556
이 방법은 91 x 91 … 99 x 99 까지 잘 통합니다. 그런데 다음과 같은 숫자는 어떨까요? 일단 답은 맞게 나오긴 하는데 45 x 32를 다시 풀어야 합니다. 이렇게 해서는 한번에 안 끝나기 때문에 의미가 없겠네요. 하지만 여전히 이 원리가 작동하고 있다는 것은 알 수 있습니다.
55 x 68 45 32 ======= R40 45 x 32 -5 +8 45-8=37 32-(-5)=37 => (37 x R40) + (-40) =1440 ======= 68-45=23 55-32=23 => 2300 + 1440 = 3740
10~19의 곱셈 암산
곱셈 암산을 하는 방법은 여러가지 입니다. 한가지만 답이라고 생각하지 말고 여러가지 방법을 시도해볼 필요가 있습니다. 1부터 100까지의 곱셈 테이블이 하나의 공식으로 모두 쉽게 암산을 할 수 있겠다면 좋겠지만 그렇지 않습니다. 1부터 100까지 수들은 각자 자기 나름의 개성이 있어서 이것들을 퉁쳐서 처리할 수는 없는 법입니다. 하지만 약간의 원리를 알면 조금 더 수월하겠죠.
우리가 구구단을 했고 91~99까지 곱셈 테이블 가능하고 그 다음에는 10~19의 곱셈 테이블을 보겠습니다.
R10 14 x 17 -4 -7 ======= 14-(-7)=21 17-(-4)=21 => 21 x R10 + (-4 x -7) = 210 + 28 = 238
레퍼런스 넘버인 10을 기준으로 얼마나 떨어져 있냐에 따라 결정이 됩니다. 마이너스 부호가 성가시니까 레퍼런스 보다 위에 있으면 +라고 하겠습니다.
R10 18 x 16 +8 +6 ======= 18+6=24 16+8=24 => 24 x R10 + (8x6) =240 + 48 = 288
한자리 숫자와도 해볼까요? 이 정도는 암기로도 나오겠지만 계산의 원리를 한번 알아보는 겁니다.
R10 15 x 7 +5 -3 ====== 7+5=12 15-3=12 => 12 x R10 + (5 x -3) = 120 - 15 = 105
11 x 11 부터 19 x 19까지 연습문제를 만들어서 직접 풀어보고 계산기의 결과와 대조해보는 학습을 추천합니다. 레퍼런스 곱하기 방식은 적당한 레퍼런스를 만들어서 사용하면 되는데 자주 사용하다 보면 외우게 되고 속도가 빨라집니다.
R40 35 x 43 -5 +3 ======= 35+3=38 -5 x 3 = -15 => 38 x R40 - 15 = 1520-15= 1505 *여기서는 38x40을 암산할 수 있어야 함 (40 x 40) - (40 x 2) = 1520
레퍼런스와 두 수의 간격이 벌어져 있으면 한쪽 레퍼런스와 최대한 가깝게 붙여주는게 좋습니다. 한자리수와 두자리수의 곱셈이 두자리수간의 곱셈보다는 그래도 수월하기 때문이지요.
R20 24 x 79 +4 +59 ======= 24+59=83 4x59=236 => 83xR20 + 236 = 1660 + 236 = 1896
요약
구구단만 해도 조합이 1×1 … 9×9까지 81개나 있습니다. 물론 그 중에는 3×4와 4×3처럼 대칭이 반이지요. 그럼 1×1 … 99×99 테이블에는 조합이 몇개 있나요? 말 그대로 99개까지의 숫자를 1부터 99까지 곱하기 때문에 99×99의 답인 9801개 조합이 있습니다.
R100 99 x 99 -1 -1 ======= 98 x R100 = 9800 -1 x -1 = +1 => 9801
여기도 97 x 23 과 23 x 97 처럼 반 정도가 대칭이겠지만 이것들을 다 외우는 것은… 가능한 사람도 있겠지만 대부분 사람들에게는 안돼고 또 무의미합니다. 원리를 파악해서 암산하는 것과 암기는 보이는 결과는 같아도 다르지요. 원리를 어떻게 알아갈 것인가가 더 중요합니다. 하지만 시간이 걸릴 망정 아주 어려운 일이 아니기 때문에 노력을 하면 대부분 할 수 있을 겁니다.
전통적으로 수학이 보수적인 학문이기 때문에(수학이란 학문의 역사가 수천년이나 된다) 이런 것들을 트릭(trick)이라고 하기도 하고 별 도움이 안된다고 보는 시각도 있는데요. 수학은 딱딱한 것이 아닙니다. 수학을 다루는 사람들의 사고가 단단해질 수는 있겠지만 그것도 결국 인간이기 때문에 뇌를 좀 유연하게 할 필요가 있습니다. 1부터 100까지의 곱셈테이블도 한방에 해결하는 방법이 없다면 중간중간을 채워나가는 방법도 좋을겁니다. 1부터 100까지라고 쉽게 생각해서는 안됩니다. 자연계에서 제일 중요한 수들 (소수)이 여기 다 있습니다. 이것들을 노력하지 않고 쉽게 암산으로 곱할 수 있을 거라 생각하면 약간 자연을 가볍게 여기는 지도 모르지요. 암튼 이 포스트는 시리즈로 이어나가겠습니다.
